Question

刘老师您好 请问这道题的第二问怎么解？

Answer 1

在已知 方程组I 的基础解系 η1, η2 的情况下
令 x1η1 + x2η2 = x3ξ1 + x4ξ2
当此方程组有解时, 解就是公共解
你试试看, 有问题再追问吧

我试着写了一下, 你验证一下吧
2 3 -1 0
1 2 1 -1
-->
0 -1 -3 2
1 2 1 -1
-->
0 1 3 -2
1 0 -5 3
得方程组1的基础解系: η1=(5,-3,1,0)^T, η2=(-3,2,0,1)^T

令 x1η1 + x2η2 = x3ξ1 + x4ξ2
(当此方程组有非零解时, 就可求出公共解)
(η1 ,η2 ,-ξ1 ,-ξ2) =
5 -3 -2 1
-3 2 1 -2
1 0 -a-2 -4
0 1 -1 -a-8

r1-5r3+3r4, r2+3r3-2r4
0 0 5(a+1) -3(a+1)
0 0 -3(a+1) 2(a+1)
1 0 -a-2 -4
0 1 -1 -a-8
所以 a=-1 时方程组有非零解
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 -3 -4
0 1 -2 -7
自由未知量x3,x4可任意取值
故两个方程组同解
即全部公共解为 k1η1 + k2η2

追问

这是书上的答案，a肯定是等于-1的。关键是公共解，它给的基础解系恰好就是方程组二的解。不知道是怎么得出来的，还是答案错了。

追答

显然书上印错了, 应该是 a = -1
我上面也给出了答案是方程组同解