Question

设向量α1,α2,......αs+1线性无关,β1=α1+αs+1,β2=α2+αs+1,...βs=αs+αs+1,证明

设向量α1,α2,......αs+1线性无关,而β1=α1+αs+1,β2=α2+αs+1,...βs=αs+αs+1,证明β1，β2，···βs线性无关

Answer 1

反证法。假设存在不全为0的数C1, C2,..., Cs使得

C1β1+C2β2+···+Csβs=0,

则隐顷闷上式即

C1(α1+αs+1) + C2(α2+αs+1) + ... + Cs(αs+αs+1)=0
<==>
C1α1 + C2α2 + ... + Csαs + (C1 + ... + Cs) αs+1 = 0
由于C1,...Cs不全为0，所以上灶弯乎伏式与α1,α2,......αs+1线性无关矛盾。所以命题得证。

Answer 2

我想直接利用秩的定义没态哗粗有做出来r（α1,α2,......αs+1）=n =r（ β1，β2，···βs ，α1,α2,......αs+1）看不出来帆镇所以我把向量组{α1,α2,......αs+1}写成矩阵A向量组{β1，β2，···βs}写成矩阵C。A乘以一个矩阵B等于C。（B我没法弄上去，很芦销好写的），因为B的列满秩，所以AB的秩等于A的秩等于C的秩等于s故得正