Question

已知圆C（x-3)²+（y-4)²=4，直线l1过定点A（1,0）

若l1与圆相交于p、q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x+2y+2=0的交点为N，求证：|AM|*|AN|为定值

Answer 1

设l1:x=ky+1，N点坐标（XN，YN），联立l1,l2得XN＝－3·k/（k＋2）＋1，YN＝－3／（k＋2），则丨AN丨＝3·（k2⃣️＋1）1/2／（k＋2）
设M（Xo，yo）P（Xl，Yl）Q（X2，y2）联立圆与丨1得（k2⃣️＋1）y2⃣️－（8＋4k）y＋16＝0
所以y1＋y2＝（8＋4k）／（K2⃣️＋1）
所以y。＝（4＋2K）／（K2⃣️＋1） x。＝1＋（4＋2k）K／（K2⃣️＋1）
所以丨AM丨＝（4＋2K）·（K2⃣️＋1）1/2／（K2⃣️＋1）
所以丨AM丨·丨AN丨＝6为定值

Answer 2

x1+x2=[2k(k+4)+6]/(1+k^2), x1x2=[(k+4)^2+5]/(1+k^2). ---①
联立L1与L2得 N(2(k-1)/(2k+1),-3k/(2k+1))，
验算(AM*AN)^2与k无关，
AM^2=[(x1+x2)/2-1]^2+[k(x1+x2)/2-k]^2,
AN^2=[2(k-1)/(2k+1)-1]^2+[-3k/(2k+1)]^2, ----②
由①②可 得，(AM*AN)^2=9.所以为定值

追问

y1+y2=k（x1+x2）-2k吧