Question

比较a/(a^2+1)和a^2-2a+2的大小

Answer 1

a²-2a+2=(a-1)²+1≥1

①a<0的话，a/(a²+1)<0
所以a/(a²+1)<a²-2a+2
②a=0的话a/(a^2+1)=0，a²-2a+2=2
所以a/(a²+1)<a²-2a+2
③a>0的话
a/(a²+1)=1/(a+1/a)
其中分母a+1/a≥2√(a*1/a)=2
所以1/(a+1/a)≤1/2
即0<1/(a+1/a)≤1/2
所以a/(a²+1)<a²-2a+2

综上，无论a取何值，都有a/(a²+1)<a²-2a+2

如果不懂，请追问，祝学习愉快！

追问

第③种情况的a/(a²+1)=1/(a+1/a)是怎么来的？

追答

分子分母同时除以a

Answer 2

a/(a^2+1)≤a/(2a)＝1/2;
a^2-2a+2＝(a-1)^2+1≥1.
∴a/(a^2+1)<a^2-2a+2。