Question

求解一道线性代数题，希望有详细步骤，如图

Answer 1

若 r(A)=0, 则 A=0
则 A = (0,0,..,0)^T(0,0,...,0)
A^2 = 0A
下面考虑 r(A)=1 的情形
由于 r(A)=1
所以 A 有非零行 (b1,...,bn), 且其余行都是 (b1,...,bn) 的倍数
将倍数构成一列向量 (a1,...,an)^T
则 A = (a1,...,an)^T (b1,...,bn)
且
A^2 = (a1,...,an)^T (b1,...,bn)(a1,...,an)^T (b1,...,bn)
= (a1,...,an)^T[ (b1,...,bn)(a1,...,an)^T] (b1,...,bn)
= (a1b1+...+anbn) (a1,...,an)^T (b1,...,bn)
= k A
其中 k = a1b1+...+anbn