Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，DE和⊙O相切于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E.

（1）求证：∠CAD=∠BAD（2）若AE=8，圆O的半径为5，,求DE的长

Answer 1

（1）证明：连接OD
因为DE切圆O于点D，OD是半径
所以OD⊥DE
因为DE⊥AC
所以OD平行于AE
所以∠CAD=∠ADO
又因为OA=OD
所以∠DAB=∠ADO
所以∠CAD=∠BAD

（2）过D做DF⊥AB，垂足为F，连接BD
因为∠CAD=∠BAD，∠AFD=∠E=90°，AD=AD
所以△ADE全等于△ADF
所以AE=AF=8，DE=DF
因为AB为圆O的直径
所以AB=2×5=10
所以BF=2
因为△ADF相似于△DBF
所以AF:DF=DF:BF
所以DF^2=8×2=16
所以DE=DF=4