Question

如图，正方形ABCD的边长为6，点E在边AB上，连接ED，过点D作DF垂直于DE与BC的延长线交于点F,连接EF与边CD

相交于G，与对角线BD相交于点H。（1）若BD=BF,求BE长。（2）若角2=2倍角1，求证：HF=HE+HD

Answer 1

(1)因为BD=BF，所以角BDF=角BFD
又因为角CDF是角BFD的余角，角BDE是角BDF的余角
所以角CDF=角BDE
又因为正方形中，角BDC=角ABD=45度
角AED=角ABD+角BDE
角BDF=角BDC+角CDF
所以角AED=角BDF=角BFD
正方形中，AD=DC=6，角A=角DCF=90度
所以三角形DAE全等于DCF
BF=BD=根号2*AD=6*根号2
CF=AE=BF-BC=6*根号2-6
EB=12-6*根号2

（2）在HF上找一点M，使FM=HE，连接DM
角ADE+EDC=90度
角EDC+CDF=90度
所以角ADE=CDF
所以三角形ADE全等于CDF
所以DE=DF，三角形DEF为等腰RT三角形，角DFG=45度
又因为角2+角CDE=角CDF+角CDE=90度
所以角2=角CDF=2*角1
角CDF+角DFG+角1=90度
所以角1=15度，角2=30度
所以易证三角形DEH全等于DFM，HD=MD
角DHM=角DEF+角BDE=45度+（角ADB-角2）=60度
所以三角形HDM为等边三角形，HD=HM
所以HD+HE=FM+HM=HF
证毕【有些混乱，不好意思啊~】