Question

拓扑学求教

1证明：（0,1）[0,1）和[0.1]两两步同胚。
2.构造（0,1）*【0,1）与[0,1]*[0,1)之间的同胚

Answer 1

1、假如(0,1)和[0,1)同胚的话，那么自然有一个同胚映射

f: [0,1) ----> (0,1) （为了方便，我把[0,1)放左边了），
于是
f: [0,1) - {0} -----> (0,1) - {f(0)} 也是同胚。

[0,1)中去掉0，仍然是连通的；但是(0,1)去掉f(0)，自然分成两段。所以就矛盾了。总之就是说，[0,1)中去掉0仍然连通，但是(0,1)去掉一个点就不连通了，而连通是拓扑性质。
类似，[0,1]去掉0和1，仍然连通，但[0,1)或者(0,1），去掉两个点，就不连通了。所以这三个互不同胚。

2、只说一下情形。A= (0,1) * [0,1)是个矩形，带一条边；而B=[0,1]*[0,1)是个矩形，带三条边。想要构造一个同胚，基本就是要把那一条边给折断，成为三条边。为了省事，先把这两个矩形都映成单位圆盘，映的方法就是把矩形边界上的点x映成x/|x|，其余点按比例向中心靠拢。这样A就变成一个圆盘，它的边界是个圆周，这个圆周上有一个周长是整个圆周1/4的弧，这个弧上的点在A里，圆周上其余的点不在A里。B也成为这样的一个圆盘，只不过圆周上3/4的点在B里。现在只要把A的那 1/4弧“拉长”，成为B的那3/4弧就行了。解析式写起来大概非常麻烦，容我偷懒好了。

追问

帮同学问的，我也看不懂，谢谢啦