Question

已知数列an中，a1=1,sn是an的前n项和，当n≥2时，sn=an【1-（2/sn）】。

1:求证｛1/sn｝是等差数列。
2:Tn=s1s2+s2s3+……+snsn+1,求Tn.

Answer 1

an=sn-s(n-1)、

带入sn=an【1-（2/sn）】
一顿计算后、得出
1/sn-1/s(n-1)=1/2
所以、｛1/sn｝是等差数列
这个等差数列的公差是1/2、首项1/s1=1、、所以可以列出其通项公式、1/sn=(n+1)/2
得到sn=2/(n+1)
则Tn=s1s2+s2s3+……+snsn+1
=2/2*2/3+2/3*2/4+....+2/(n+1)*2/(n+2)
=4(1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/(n+1)-1/(n+2))
=4(1/2-1/(n+2))
特别说明、1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+....
之类的算式求和的、、
分子呢是常数、、分母呢是等差数列的两项相乘的、、
我们可以吧他拆开来
1/(1*2)=1/1-1/2
1/(2*3)=1/2-1/3
1/(3*4)=1/3-1/4
这样求和的时候、、会抵消正负的部分、
这方法一般在数列、不等式证明中出现

Answer 2

Sn=an【1-（2/Sn）】
for n>=2
Sn=an【1-（2/Sn）】
= [Sn - S(n-1)].[1-（2/Sn）]
= Sn - 2 - S(n-1) + 2S(n-1)/Sn
- 2Sn - S(n-1).Sn + 2S(n-1) =0
1/Sn -1/S(n-1) = 1/2
=>{1/Sn}是等差数列, d=1/2
1/Sn -1/S1=(n-1)/2
Sn = 2/n
an =Sn -S(n-1)
= 2[ 1/n -1/(n-1) ]
ie
an = 1 ; n=1
= 2[ 1/n -1/(n-1) ] ; n=2,3,4,...

for n>=2
Sn.S(n+1) = 4/[n(n+1)]
= 4[ 1/n - 1/(n+1) ]

Tn=S1S2+S2S3+...+SnS(n+1)
=S1S2+[S2S3+...+SnS(n+1)]
= 1+ 4[ 1/2 - 1/(n+1) ]
= 3 - [4/(n+1)]
= (3n-1)/(n+1)