Question

关于二重积分轮换对称性问题

问题是，对于一般Dxy关于y轴对称如：x^2+y^2≤1，∫∫x^2+y^2dxdy，我把x换为-x，y不动，得到∫∫x^2+y^2d-xdy=-∫∫x^2+y^2dxdy,则∫∫x^2+y^2dxdy=0，显然不对啊！！！为什么？
基本的x，y互换，积分区域不变被积函数不变的轮换对称性我知道，刚听了一个老师的课，他说，这是基于积分与用什么字母表示无关，然后举了一个例子Dxy：|x|+|y|≤1，I=∫∫sin（x^3+y^3）dxdy这道题用将x换为-x，y换为-y，的轮换方法，I=∫∫sin（（-x）^3+（-y）^3）d-xd-y=-∫∫sin（x^3+y^3）dxdy，所以I=0

Answer 1

不是这样的，

1
对于Dxy是关于y轴对称的区域，满足∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(-x, y)dxdy

（所以如果f(x,y)是个关于x的奇函数的话，f(-x, y)= -f(x,y)
所以∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(-x, y)dxdy= -∫∫f(x, y)dxdy
得到∫∫f(x,y)dxdy=0）

2
如果Dxy是关于y=x对称的区域，那么∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(y, x)dxdy

（所以如果积分函数满足f(y,x)= -f(x,y)，就能得出∫∫f(x,y)dxdy=0）

3
如果Dxy是关于y=-x对称，那么∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(-y, -x)dxdy

4
关于Dxy是原点对称的区域，那么∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(-x, -y)dxdy

追问

这些轮换是不是基于"积分值与用何字母表示无关",为什么后面的dxdy都不用换成d-xd-y，是约掉了么？否则您说的第一种情况如果单纯只换一个字母后面dx不是换成d-x了么

追答

不是的，
dxdy只是表示面积的积分符号，
二重积分和三重积分的对称性，只跟积分区域和积分函数有关。

在第二类曲线积分和第二类曲面积分的对称性中，才会用到dx dy dz算子的轮换。。
http://baike.baidu.com/view/2463126.htm?fr=aladdin

Answer 2

你说的那几种情况都不是轮换对称性，首先所谓轮换对称性就是，如果把f(x,y)中的x换成y，y换成x后，f(x,y)的形式没有变化，就说f(x,y)具有轮换对称性。例如x^2+y^2有轮换对称性，而2x+3y没有轮换对称性（因为换完后是2y+3x，和原来的不一样）。下面说明轮换对称性在二重积分中的应用，我们知道二重积分的积分区域的边界可以用方程f(x,y)=0表示，如果这里的f(x,y)具有轮换对称性，那么被积函数中的x和y互换后积分结果不变。例如∫∫x^2dxdy，积分区域为圆周x^2+y^2=1，由于轮换对称性可知∫∫x^2dxdy=∫∫y^2dxdy（这就是把被积函数中的x换成了y），因此积分=(1/2)∫∫2x^2dxdy=(1/2)∫∫(x^2+y^2)dxdy，再用极坐标计算就简单多了。有不明白的地方欢迎追问。

Answer 3

今天我和楼主遇到了同样的问题，不过我解决了。可能这么多年楼主已经解决问题了，不过我还是在这里说一下。首先，楼主举出的例子在第一段“得到”紧跟的那个等式是错误的，原因在于用-x代替x时，只是把积分变量和被积函数换掉了，而没有换掉积分上下限。比如x从0到1，用-x替代时，上下限对应为从0到-1，而不是-1到0，所以替换掉的结果和原式互为相反数了