Question

设l是沿直线x+y=1从点(0,1)到点(1,0)求∫l(x+y)(dx+dy)

Answer 1

设l为直线x+y=1上从点a(1,0)到b（0,1）的直线段，则∫(x+y)dx-dy=?
解：把方程x+y=1改为参数方程：x=1-(√2/2)t，y=(√2/2)t；于是dx=-(√2/2)dt，dy=(√2/2)dt，
x=1时t=0；x=0时t=2/√2=√2.
故[a，b]∫(x+y)dx-dy=[0，√2]∫[1-(√2/2)t+(√2/2)t][-(√2/2)dt]-(√2/2)dt=[0，√2]∫(-√2)dt
=-(√2)t︱[0，√2]=-2.

Answer 2

设L是沿直线x+y=1从点(0,1)到点(1,0)，求【L】∫(x+y)(dx+dy)。
解：把L的方程x+y=1改写成参数形式：x=1-(√2/2)t；y=(√2/2)t；
点(0，1)对应t=√2；点(1，0)对应t=0；x'(t)=dx/dt=-√2/2；y'(t)=dy/dt=√2/2；
故【L】∫(x+y)(dx+dy)=【√2，0】∫[x'(t)+y'(t)]dt
=【√2，0】∫[(-√2/2)+(√2/2)]dt=0