近世代数题
设H1，H2.....Hn都是G的子群，任意i，j,ai∈Hi，aj∈Hj，aiaj=ajai成立，又假定G中每个元素都可以表示成b1b2.....bn，其中bi∈Hi，...
设H1 ，H2.....Hn都是G的子群，任意i，j , ai∈Hi，aj∈Hj，aiaj=ajai成立，又假定G中每个元素都可以表示成b1b2.....bn，其中bi∈Hi，证明每个Hi都是G的正规子群。
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任取a∈ Hi,以及g∈ G，根据题目可知,g可以写成
b1b2……bn
那么
g^{-1}ag=bn^{-1}……b2^{-1}b1^{-1}ab1b2……bn
=bn^{-1}……b2^{-1}b1^{-1}b1b2……bna
=a∈ Hi
这便说明Hi是正规子群.
第二个等号用到了题目中的交换性
b1b2……bn
那么
g^{-1}ag=bn^{-1}……b2^{-1}b1^{-1}ab1b2……bn
=bn^{-1}……b2^{-1}b1^{-1}b1b2……bna
=a∈ Hi
这便说明Hi是正规子群.
第二个等号用到了题目中的交换性
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