Question

高数题！！！

设Xn=∑【k=0,n-1】e^[(1+k)/n]/[(n+k^2)/n^2],则lim[n趋于无穷]Xn=？
上面打错题目了，原题应该是：设Xn=∑【k=0,n-1】e^[(1+k)/n]/[n+(k^2/n^2)],则lim[n趋于无穷]Xn=？

Answer 1

lim (1/x^2)-(cotx)^2
=lim (1/x^2)-(1/tanx)^2
直接通分
=lim[(tanx)^2 - x^2] / [x^2(tanx)^2]
(tanx~x,分子因式分解)
=lim (tanx+x)(tanx-x)/x^4
(左边的括号内都是x的等价无穷小，可分离）
=lim(tanx+x)/x * lim(tanx-x)/x^3
对右边的极限用洛必达法则
=[lim tanx/x + lim x/x] * lim [(secx)^2-1]/(3x^2)
因为右边的极限(secx)^2-1=(tanx)^2，等价替换为x^2
=2* lim x^2/(3x^2)
=2/3

做这类题目，能用等价无穷小替换的要尽早替换，否则就如推荐答案那样计算繁琐，而且容易出错
希望能解决您的问题。

追问

不好意思，原题打错了，应该是：设Xn=∑【k=0,n-1】e^[(1+k)/n]/[n+(k^2/n^2)],则lim[n趋于无穷]Xn=？麻烦您再帮忙解下。谢谢