Question

在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a,b,c成等差数列,2a,2b,2c成等比数列，求cosAcosC=?

在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a,b,c成等差数列,2a,2b,2c成等比数列，求cosAcosC=?

Answer 1

a、b、c成等差数列，则2b=a+c
2a、2b、2c成等比数列，则(2b)²=(2a)(2c)
b²=ac
由余弦定理得

cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)
=(ac+c²-a²)/(2bc)
cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)
=(a²+ac-c²)/(2ab)

cosAcosC
=[(ac+c²-a²)/(2bc)][(a²+ac-c²)]/(2ab)
=[a²c²-(a²-c²)²]/(4ab²c)
=[a²c²-(a²+c²)²+4a²c²]/(4a²c²)
=[5a²c²-[(a+c)²-2ac]²]/(4a²c²)
=[5a²c²-(4b²-2b²)²]/(4a²c²)
=(5a²c²-4b⁴)/(4a²c²)
=(5a²c²-4a²c²)/(4a²c²)
=a²c²/(4a²c²)
=1/4
以上写了这么多，只是为了严谨地得出结果。其实知道a、b、c成等差数列，又知道a、b、c成等比数列，那么a、b、c为常数数列，即a=b=c
cosA=cosB=cosC=cos60°=1/2
cosAcosC=(1/2)(1/2)=1/4

Answer 2