Question

在平面直角坐标系中，已知有三点A(-1,2)B(0,x+2),C(x+2tanθ-1,y+3)共线，其中θ∈（π/2，π/2）

(1) 将x表示成y的函数，并求出函数表达式y=f(x) (2) 若y=f(x)在区间[-1,√3]上是单调函数，求的取值范围 (3) 若∈[-π/3，π/3]时，函数f(x)在区间[-1，√3]上的最小值为g(θ),求g(θ)的表达式

Answer 1

解：（1）∵A（-1，2），B（0，x+2），C（x+2tanθ-1，y+1） ∴ AB =（1，x）， AC =（x+2tanθ，y+1） ∵A，B，C三点共线， ∴x（x+2tanθ）-（y+1）=0 即y=f（x）=x 2 +2xtanθ-1 ∴f（x）=x 2 +2xtanθ-1 (2)由题设可知：令y=x^2+2*tanθ*x-1=(x+tanθ)^2-(tanθ)^2-1 则对于抛物线的对称轴x=-tanθ有 x=-tanθ≤-1或者x=-tanθ≥根号3 可求得θ的取值范围；（－π／2，－π／3〕∪〔π／4，π／2） （3）∵f（x）=x 2 +2xtanθ-1=（x+tanθ） 2 -tan 2 θ-1 又y=f（x）在[-1， 3 ]上是单调函数 ∴-tanθ≥ 3 或-tanθ≤-1即tanθ≤- 3 或tanθ≥1 ∵θ∈（- π 2 ， π 2 ）， ∴θ∈（- π 2 ，- π 3 ]∪[ π 4 ， π 2 ） ∴θ的取值范围是（- π 2 ，- π 3 ]∪[ π 4 ， π 2 ）