Question

设A为3阶非零矩阵，满足A^2=O,则非齐次线性方程组Ax=b有解时的线性无关的解向量的个数为

Answer 1

由A^2=O知道A的列向量都是齐次线性方程组AX=O的解向量。
若R(A)=2，则AX=O的基础解系中只有一个非零解向量，而A的列向量有2个是线性无关的，与A的列向量都是齐次线性方程组AX=O的解向量矛盾。
又A不等于0，故R(A)=1.
从而当非齐次线性方程组Ax=b有解时的线性无关的解向量的个数为3-R(A)=3-1=2个。

Answer 2

因为 A^2=0
所以 r(A)+r(A)<=3
即 2r(A)<=3
又因为A≠0
所以 r(A)>=1
所以 r(A)=1
所以 非齐次线性方程组Ax=b有解时的线性无关的解向量的个数为 n-r(A)+1 = 3-1+1=3

追问

为什么A^2=0，所以r(A)+r(A)<=3，能讲细点吗

追答

知识点: 若 Am*sBs*n = 0, 则 r(A)+r(B) <= s
这个结论教材中一般都有