Question

对于任意定义在区间(-a,a)上的函数f(x),证明:f(x）总是可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和

Answer 1

具体回答如下：

对于任意定义在区间(-a,a)上的函数f(x)

令g(x)=[f(x)+f(-x)]/2

h(x)=[f(x)-f(-x)]/2

g(-x)=[f(-x)+f(x)]/2=g(x)，是偶函数。

h(-x)=[f(-x)-f(x)]/2=-h(x)，是奇函数。

g(x)+h(x)=f(x)

所以证明f(x)总是可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和。

奇偶性：

设一个实变量实值函数，若有f（-x）= - f（x），则f（x）为奇函数。

几何上，一个奇函数关于原点对称，亦即其图像在绕原点做180度旋转后不会改变。

奇函数的例子有x、sin（x）、sinh（x）和erf（x）。

设f（x）为一实变量实值函数，则f（x）为偶函数。

几何上，一个偶函数关于y轴对称，亦即其图在对y轴映射后不会改变。

偶函数的例子有|x|、x2、cos（x）和cosh（x）。

偶函数不可能是个双射映射。

Answer 2

对任意函数f(x)，令g(x)=[f(x)+f(-x)]/2，h(x)=[f(x)-f(-x)]/2
g(-x)=[f(-x)+f(x)]/2=g(x)，所以g(x)是偶函数
h(-x)=[f(-x)-f(x)]/2=-h(x)，所以h(x)是奇函数
两式相加，g(x)+h(x)=f(x)
所以任意函数f(x)都能表示成一个奇函数和一个偶函数的和