Question

一个函数连续 这点极限值可以不等于函数值？

y=sinx ， x=0 这点

Answer 1

你好！
这是不被允许的。
对于一个一般的一元函数，从正向接近一个点和负向接近一个点，如果极限值相等，并不意味着这个函数一定是连续的。那个被接近的点的当地的函数值务必等于这个极限值才能说函数连续。

对于你所提出的函数y=sinx，如果我们去一个极限lim（sin（x+dx）），运用和角公式，变形为lim（sinx*cosdx+cosx*sindx），如果dx趋近于0，并且x取0，sinx=0，sindx=0，cosx=1，cosdx=1，这个极限的确是0，而在x=0这一点函数也是0，所以函数是连续的。
希望对你有帮助！

追问

lim f（0+dx）-f（0）/dx
不是等于lim sindx/dx 么 这不是等于1 ？？

追答

你好！谢谢你的追问。你犯了一个常出现的错误：你所求的极限是切线的斜率的极限，也就是导数。你想想对么？函数的变化量除以自变量的变化量。而这道题要讨论的是函数本身的极限，并不需要除以自变量的变化量。

Answer 2

连续函数在某个点的极限值等于函数值，因为这是连续函数的定义所规定的。
函数 f(x)=sinx 在 x=0 处连续的定义，叙述如下
任取 e>0，存在d>0，使得当 |x-0|<=d 时，有
|f(x)-f(0)|<e ，即 |sinx-sin0|=|sinx|<e ；
上述过程中，从极限的定义可知，lim(sinx)→sin0 (x→0)
也就是函数 f(x)=sinx 在x=0处的极限值就等于函数值sin0 。
其实连续函数在某一点的极限值当然就等于函数在这一点的函数值。
希望对你有用~