Question

已知f(x)=1/3ax³+1/2bx²+cx+d的图像过原点,且在点(-1,f(-1))处的切

与x轴平行，对任意x∈R，都有x≦f'(x)≦1/2(x²+1)

Answer 1

f(x)=1/3ax³+1/2bx²+cx+d的图像过原点，
∴d=0,
f'(x)=ax^2+bx+c,
f'(-1)=a-b+c,f(-1)=-a/3=b/2-c,
曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线与x轴平行，
∴a-b+c=0,
对任意x∈R，都有x≦f'(x)≦1/2(x²+1),①令x=1,得f'(1)=a+b+c=1,
∴b=a+c=1/2,
由①，ax^2-x/2+(1/2-a)>=0,且(1/2-a)x^2-x/2+a>=0恒成立，
∴0<a<1/2,且1/4-4a(1/2-a)=4a^2-2a+1/4=(2a-1/2)^2<=0,
∴a=1/4,c=1/4.
∴f(x)=(1/12)x^3+(1/4)x^2+x/4.