Question

求曲线y=xln(e+1/x) 的渐近线方程？

Answer 1

根据题意回答如下：

设斜渐近线为：y=ax+b

a=lim[x→∞zhi] y/x=lim[x→∞] ln(e+1/x)=1

b=lim[x→∞] [xln(e+1/x)-ax]

=lim[x→∞] [xln(e+1/x)-x]

=lim[x→∞] [xln(e+1/x)-xlne]

=lim[x→∞] xln[(e+1/x)/e]

=lim[x→∞] xln[1+1/(ex)]

等价无穷小代换

=lim[x→∞] x/(ex)

=1/e

因此渐近线为：y=x + 1/e

渐近线方程需要注意：

1、与双曲线x²/a²-y²/b² =1（a>0，b>0）共渐近线的双曲线系方程可表示为x²/a²-y²/b² =λ（λ≠0且λ为待定常数）

2、与椭圆x²/a²-y²/b² =1（a>b>0）共焦点的曲线系方程可表示为x²/a²-y²/b² =1（λ=0时为原椭圆， b2<λ<a2时为双曲线）

平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:x=+(-)a²/c 的距离之比等于常数e=c/a (c>a>0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p= a2/c，与椭圆相同。

Answer 2

有两条：
（1）x = -1/e ；
（2）y = x+1/e 。