Question

弹簧的上端固定，下端悬挂两个相同的质量为m的物体时，弹簧伸长量为2a，拿去下面一个物体,重新开始

动,求其运动规律。

Answer 1

分析：
　　设弹簧的劲度系数是K，那么有　2* mg＝K* ( 2a )
得　K＝mg / a
　　当拿去一个物体后，剩下这个物体与弹簧构成的弹簧振子处于平衡位置时，弹簧的伸长量是
X0＝mg / K＝a
　　这时的弹簧振子的振动周期是　T＝2π根号（m / K）＝2π*根号（a / g）
可见，若在原来静止后直接拿去一个物体，使剩下的物体开始振动，则它的振幅是
A＝2a－X0＝a
取竖直向上为正方向，开始振动时 t＝0，则运动方程是
X＝A* sin[ (2π t / T)－( π / 2 ) ]
即　X＝a * sin{ [ 根号(g / a) ] * t－( π / 2 ) }

追问

请问如果用数学分析的齐次线性积分怎么做

追答

你是说用高等数学的知识来做吧。
　　在得到　K＝mg / a 　，X0＝a 以后，可知初始条件是： t＝0时，X＝－A＝－a，V＝0（以竖直向上为正方向）
　　由牛二　得　K* X＝－m * (dV / dt )　　　，X是相对平衡位置的位移（有方向）
且　　　　　　　V＝dX / dt
那么　(d²X /dt² )＋（K / m）* X＝0　　
这是一个X关于 t 的二阶微分方程。
对照相同形式的标准方程：(d²X /dt² )＋ω^2 * X＝0　，通解是　X＝A* sin( ω t＋Φ )
所以前面微分方程的通解是　X＝A*sin { [根号(K / m) ] * t ＋Φ｝

由初始条件：t＝0时，X＝－A＝－a，得　A＝a，Φ＝－( π / 2 )

而　K / m＝g / a
所以　X＝a * sin{ [ 根号(g / a) ] * t－( π / 2 ) }