Question

已知抛物线C:y2=4x的焦点F,过F的直线l与C相交于A,B两点，若AB的垂直平分线l。。。。。。

已知抛物线C:y2=4x的焦点F,过F的直线l与C相交于A,B两点，若AB的垂直平分线l'与C相交于M,N两点，且A,M,B,N四点共圆，求l的方程

Answer 1

由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，设l的方程为 x=my+1 （m≠0），
代入抛物线方程可得y²-4my-4=0，∴y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4．
∴AB的中点坐标为D（2m²+1，2m），弦长|AB|=m2+1|y₁-y₂|=4（m²+1）．
又直线l′的斜率为-m，∴直线l′的方程为 x=-1my+2m²+3．
过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，
把线l′的方程代入抛物线方程可得 y²+4my-4（2m²+3）=0，∴y₃+y₄=−4m，y₃•y₄=-4（2m²+3）．
故线段MN的中点E的坐标为（2m2+2m²+3，−2m），∴|MN|=1+1m2|y₃-y₄|=4(m2+1)2m2+1m2，
∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=12|MN|，
∴14•AB2+DE²=14MN²，
∴4（m²+1）²+(2m+2m)2+(2m2+2)2=16(m2+1)2(2m2+1)m4，化简可得 m²-1=0，
∴m=±1，∴直线l的方程为 x-y-1=0，或 x+y-1=0．