Question

已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，问它们有多少相同的项？并求所有相同项的和

已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，问它们有多少相同的项？并求所有相同项的和．

Answer 1

解法一：设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{a n }，则a 1 =11． ∵数列5，8，11，…与3，7，11，…公差分别为3与4， ∴{a n }的公差d=3×4=12， ∴a n =12n-1． 又∵5，8，11，…与3，7，11，…的第100项分别是302与399， ∴a n =12n-1≤302，即n≤25.5． 又∵n∈N * ， ∴两个数列有25个相同的项． 其和S 25 =11×25+ 25×24 2 ×12=3875． 解法二：设5，8，11，与3，7，11，分别为{a n }与{b n }，则a n =3n+2，b n =4n-1． 设{a n }中的第n项与{b n }中的第m项相同， 即3n+2=4m-1，∴n= 4 3 m-1． 又m、n∈N * ，∴设m=3r（r∈N * ）， 得n=4r-1． 根据题意得 1≤3r≤100 1≤4r-1≤100 解得1≤r≤25（r∈N * ）． 从而有25个相同的项，且公差为12， 其和S 25 =11×25+ 25×24 2 ×12=3875．