Question

已知函数f（x）=alnx+ 1 x ．（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间和极值；（2）当a＞0时，

已知函数f（x）=alnx+ 1 x ．（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间和极值；（2）当a＞0时，若对任意x＞0，均有ax（2-lnx）≤1，求实数a的取值范围；（3）若a＜0，对任意x 1 、x 2 ∈（0，+∞），且x 1 ≠x 2 ，试比较f（ x 1 + x 2 2 ）与 f( x 1 )+f( x 2 ) 2 的大小．

Answer 1

由题意x＞0，f′（x）= a x - 1 x 2 （1）当a＞0时，由f′（x）＞0得，解得 x＞ 1 a ， 即函数f（x）的单调增区间是 ( 1 a ，+∞) ； 由f′（x）＜0得 a x - 1 x 2 ＜0，解得 x＜ 1 a ， 即函数f（x）的单调减区间是 (0， 1 a ) ∴当x= 1 a 时，函数f（x）有极小值， 极小值为f（ 1 a ）= aln 1 a +a=a-alna （2）当a＞0时，∵对任意x＞0， 均有ax（2-lnx）≤1，即有对任意x＞0， 2a≤alnx+ 1 x 恒成立， ∴对任意x＞0，只须2a≤f（x） min 由（1）可知，函f（x）的极小值，即为最小值， ∴2a≤f（x） min =a-alna，，解得 0＜a≤ 1 e 即a的取值范围为 0＜a≤ 1 e （3） f( x 1 + x 2 2 ) - f( x 1 )+f( x 2 )  2 =aln x 1 + x 2 2 x 1 x 2 - ( x 1 - x 2 )  2 2 x 1 x 2 ( x 1 + x 2 )  ∵x 1 ＞0，x 2 ＞0且x 1 ≠x 2 ，a＜0， ∴x 1 +x 2 ＞2 x 1 x 2 ，∴ x 1 + x 2 2 x 1 x 2 ＞1，aln x 1 + x 2 2 x 1 x 2 ＜0 又 - ( x 1 - x 2 )  2 2 x 1 x 2 ( x 1 + x 2 )   ＜0 ， ∴aln x 1 + x 2 2 x 1 x 2 + - ( x 1 - x 2 )  2 2 x 1 x 2 ( x 1 + x 2 )   ＜0 ， ∴f（ x 1 + x 2 2 ）- f( x 1 )+f( x 2 )  2 ＜0，即f（ x 1 + x 2 2 ）＜ f( x 1 )+f( x 2 )  2 ．