Question

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC．（1）若AC=BC，∠B：∠C=2：1，试写出图中的所有等腰三角形，并给予证明

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC．（1）若AC=BC，∠B：∠C=2：1，试写出图中的所有等腰三角形，并给予证明．（2）若AB+BD=AC，求∠B：∠C的比值．

Answer 1

解：（1）等腰三角形有3个：△ABC，△ABD，△ADC， 证明：∵AC=BC∴△ABC是等腰三角形 ∴∠B=∠BAC ∵∠B：∠C=2：1  ∠B+∠BAC+∠C=180° ∴∠B=∠BAC=72°，∠C=36° ∴∠BAD=∠DAC= ∠BAC=36° ∵∠B=∠ADB=72°， ∴△ABD和△ADC是等腰三角形 （2）方法1：在AC上截取AE=AB，连接DE又∠BAD=∠DAE，AD=AD ∴△ABD≌△ADE ∴∠AED=∠B，BD=DE ∵AB+BD=AC ∴BD=EC ∴DE=EC ∴∠EDC=∠C ∴∠B=∠AED=∠EDC+∠C=2∠C即∠B：∠C=2：1 方法2：延长AB到E，使AE=AC连接DE证明△ADE≌△ADC 再类似证明得到∠B=2∠AED=2∠C利用“截长法”或“补短法”添加辅助线， 将AC﹣AB或AB+BD转化成一条线段