Question

已知函数f（x）=x 2 -ax-lnx，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在[1，3]上

已知函数f（x）=x 2 -ax-lnx，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在[1，3]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）令g（x）=f（x）-x 2 ，是否存在负实数a，当x∈（0，e]（e是自然对数的底数）时，函数g（x）的最小值是2，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）当a=1时，由f′（x）=2x-1- 1 x = 2 x 2 -x-1 x = (2x+1)(x-1) x ， ∵函数f（x）=x 2 +x-lnx的定义域为（0，+∞）， ∴当x∈（0，1]时，f′（x）≤0，当x∈[1，+∞）时，f′（x）≥0 ∴函数f（x）=x 2 +x-lnx的单调递减区间为（0，1]， 单调递增区间为[1，+∞）…（4分） （Ⅱ）若函数f（x）在[1，3]上是减函数， 则f′（x）=2x-a- 1 x = 2 x 2 -ax-1 x ≤0在[1，3]上恒成立， 因为x＞0，令 h（x）=2x 2 -ax-1， 有 h(1)≤0 h(3)≤0 得 a≥1 a≥ 17 3 ，得 a≥ 17 3 …（8分） （III）假设存在负实数a，使g（x）=f（x）-x 2 ，即g（x）=-ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值2，g′（x）=-a- 1 x = - ax+1 x …（9分） （1）当0＜- 1 a ＜e，即a＜- 1 e 时，g（x）在（0，- 1 a ）上单调递减，在（ 1 a ，e]上单调递增 ∴g（x） min =g（- 1 a ）=1+ln（-a）=2，a=-e，满足条件．…（11分） （2）当- 1 a ≥e，即a≥- 1 e 时，g′（x）＜0，g（x）在（0，e]上单调递减， 此时g（x） min =g（e）=-ae-1=2， ∴a=- 3 e （舍去），即f（x）无最小值．…（13分） 综上，存在负实数a=-e，使得当x∈（0，e]时，f（x）有最小值2．…（14分）