Question

将函数y=f（x）的图象向左平移1个单位，再纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 π 3 倍，然后再向

将函数y=f（x）的图象向左平移1个单位，再纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 π 3 倍，然后再向上平移1个单位，得到函数 y= 3 sinx 的图象．（1）求y=f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=2对称，求当x∈[0，1]时，函数y=g（x）的最小值和最大值．

Answer 1

（1）函数 y= 3 sinx 的图象向下平移1个单位得 y= 3 sinx-1 ，再横坐标缩短到原来的 3 π 倍得 y= 3 sin π 3 x-1 ，然后向右移1个单位得 y= 3 sin( π 3 x- π 3 )-1 所以函数y=f（x）的最小正周期为 T= 2π π 3 =6 由 2kπ- π 2 ≤ π 3 x- π 3 ≤2kπ+ π 2 ?6k- 1 2 ≤x≤6k+ 5 2 ，k∈Z ， 函数y=f（x）的递增区间是 [6k- 1 2 ，6k+ 5 2 ]，k∈Z ． （2）因为函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=2对称 ∴当x∈[0，1]时，y=g（x）的最值即为x∈[3，4]时，y=f（x）的最值． ∵x∈[3，4]时， π 3 x- π 3 ∈[ 2π 3 ，π] ， ∴sin（ π 3 x- π 3 ） ∈[0， 3 2 ] ∴f（x） ∈[-1， 1 2 ] ． ∴y=g（x）的最小值是-1，最大值为 1 2 ．