Question

已知数列{an}是首项为a1=a，公差为2的等差数列，数列{bn}满足2bn-an=nan．（1）若a1、a3、a4成等比数列，

已知数列{an}是首项为a1=a，公差为2的等差数列，数列{bn}满足2bn-an=nan．（1）若a1、a3、a4成等比数列，求数列{an}的通项公式；（2）当-22≤a≤-18时，不等式bn≥b5能否对于一切n∈N*恒成立？请说明理由．（3）数列{cn}满足cn+1?cn＝(12)n(n∈N*)，其中c1=1，f（n）=bn+cn，当a=-20时，求f（n）的最小值．

Answer 1

（1）依题意a_n=a+2n-2，
∵a₁、a₃、a₄成等比数列，
∴a1a4＝

a

2 3

，即a（a+6）=（a+4）²，解得a=-8，
故a_n=2n-10．
（2）由2b_n-a_n=na_n，a_n=a+2n-2，得
bn＝

1

2

(n+1)an＝

1

2

(n+1)(a+2n?2)＝n2+

a

2

n+

a?2

2

＝(n+

a

4

)2?(

a?4

4

)2．
∵f(x)＝(x+

a

4

)2?(

a?4

4

)2的图象的对称轴为x＝?

a

4

，-22≤a≤-18，
∴

9

2

≤?

a

4

≤

11

2

，
又x∈N^*，∴当x＝?

a

4

＝5，即a=-20时，f（x）取最小值．
故当-22≤a≤-18时，不等式b_n≥b₅对一切n∈N^*恒成立．
（3）∵cn+1?cn＝(

1

2

)n，
∴n≥2时，cn＝c1+(c2?c1)+(c3?c2)+…+(cn?cn?1)＝1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n?2+(

1

2

)n?1=2?(

1

2

)n?1，
n=1时c₁=1，适合上式，
故cn＝2?(

1

2

)n?1．
当a=-20时，bn＝n2+

a

2

n+

a?2

2

＝n