Question

（2011?临沂二模）已知四棱锥P-ABCD的三视图如图．（1）求四棱锥P-ABCD的体积；（2）若E是侧棱PC的中点，

（2011?临沂二模）已知四棱锥P-ABCD的三视图如图．（1）求四棱锥P-ABCD的体积；（2）若E是侧棱PC的中点，求证：PA∥平面BDE；（3）若E是侧棱PC上的动点，不论点E在何位置，是否都有BD⊥AE？证明你的结论．

Answer 1

解：（1）由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，
侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2，
∴V_P-ABCD=

1

3

S_ABCD?PC=

1

3

×1×2=

2

3

（2）证明：连接AC交BD于F，则F为AC的中点，
∵E为PC的中点，
∴PA∥EF，
又PA?平面BDE内，
∴PA∥平面BDE
（3）不论点E在何位置，都有BD⊥AE
证明：连接AC，∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC
∵PC⊥底面ABCD且BD?平面ABCD，
∴BD⊥PC
又AC∩PC=C，
∴BD⊥平面PAC，
∵不论点E在何位置，都有AE?平面PAC
∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE