Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=1与x轴正半轴的交点为F，AB为该圆的一条弦，直线AB的方程为x=m．记

在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=1与x轴正半轴的交点为F，AB为该圆的一条弦，直线AB的方程为x=m．记以AB为直径的圆为⊙C，记以点F为右焦点、短半轴长为b（b＞0，b为常数）的椭圆为D．（1）求⊙C和椭圆D的标准方程；（2）当b=1时，求证：椭圆D上任意一点都不在⊙C的内部；（3）已知点M是椭圆D的长轴上异于顶点的任意一点，过点M且与x轴不垂直的直线交椭圆D于P、Q两点（点P在x轴上方），点P关于x轴的对称点为N，设直线QN交x轴于点L，试判断OM?OL是否为定值？并证明你的结论．

Answer 1

（1）圆心C（m，0），（-1＜m＜1），
则⊙C的半径为：r=

1?m2

，
从而⊙C的方程为（x-m）²+y²=1-m²，
椭圆D的标准方程为：

x2

b2+1

+

y2

b2

＝1．
（2）当b=1时，椭圆D的方程为

x2

2

+y2＝1，
设椭圆D上任意一点S（x₁，y₁），
则

x12

2

+y12＝1，y12＝1?

x12

2

，
∵SC2＝(x1?m) 2+y12
=(x1?m) 2+1?

x12

2

=

1

2

(x1?2m)2+1?m2
≥1-m²=r²，
所以SC≥r．
从而椭圆D上的任意一点都不存在⊙C的内部．
（3）

OM

?

OL

=b²+1为定值．
证明：设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则由题意，得N（x₁，-y₁），x₁≠x₂，y₁≠±y₂，
从而直线PQ的方程为（y₂-y₁）x-（x₂-x₁）y+x₂y₁-x₁y₂=0，
令y=0，得