Question

（2011?新晃县二模）四面体A-BCD中，O，E分别是BD，BC的中点，AC=BC=CD=BD=2，AB=AD=2（1）求证：AO⊥平

（2011?新晃县二模）四面体A-BCD中，O，E分别是BD，BC的中点，AC=BC=CD=BD=2，AB=AD=2（1）求证：AO⊥平面BCD；（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；（3）求点C到平面AED的距离．

Answer 1

解答：（1）证明：连接OC，已知O为BD中点，
AB=AD=

2

，AC=BC=CD=BD=2，
故AO⊥BD，CO⊥BD，
所以OA=

AB2?BO2

=1，OC=

3

，在△AOC中，
OA²+OC²=4=AC²，所以∠AOC=90°，则AO⊥OC，
又AO⊥BD，BD∩OC=O，故AO⊥平面BCD．
（2）解：取AC中点M，连接OM，ME，OE，又E为BC中点，则ME∥AB，OE∥CD，
所以直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成角，
在△OME中，EM=

1

2

AB＝

2

2

，OE=

1

2

CD＝1，
又OM为Rt△AOC的斜边AC上的中线，故OM=1，
所以cos∠OEM=

2

4

，即异面直线AB与CD所成角的余弦值为

2

4

．          
（3）解：（体积法）设点C到平面AED的距离为h，因为V_C-AED=V_A-CDE，
即有

1

3

hS_△AED=

1

3

AO?S_△CDE，又CA=BC=2，AB=

2

，设AE=x，则由余弦定理有
cos∠ABC=

AB2+BC2?AC2

2AB?BC

=

AB2+BE2?AE2

2AB?BE

，即有AE=

2

，△AED为等腰三角形，
而DE=

3

，等腰三角形△AED底边上的高为

5

2

，
故△AED的面积为S_△AED=

1

2

?DE?

5

2

=

15

4

．
则而AO=1，S_△CDE=

1

2

×

3

4

×4＝

3

2

，
故h=

2 5

5

，点E到平面ACD的距离为

2 5

5

．