Question

三棱锥P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，D为底面ABC内一点，∠APD=45°，∠BPD=60°，求∠CPD余弦。

三棱锥P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，D为底面ABC内一点，∠APD=45°，∠BPD=60°，求∠CPD余弦。
请写出一步一步进行的解答过程，对于大家的帮助，我深表感谢！

Answer 1

如图，在线段 PD 上取点 H ，过 H 作平面 α ，使 PH丄α ，

设 α 与 PA、PB、PC 分别交于 E、F、G ，连接 EF、FG、GE，

延长 GH 交 EF 于 M ，连接 PM ，

易证 H 为三角形 EFG 的垂心，GM丄EF，

设 PH = x ，容易求得 PF = 2x，PE = √2x ，因此 EF=√6x ，

所以 PM = PE*PF/EF = 2√3/3*x ，

那么 sin∠PMH = PH/PM = √3/2 ，所以 ∠PMH = 60°，

而 ∠CPD = ∠GPH =∠PMH = 60°，

所以 cos∠CPD  = 1/2 。

追问

您好，尊敬的西域牛仔王，请问怎么证明H 为三角形 EFG 的垂心呢？虽然我的这个问题很幼稚，但是还是请您有空闲的时候帮助我解答一下好么？

追答

P 处的三个角均为直角，因此 PC丄PA，PC丄PB，因此 PC丄平面PAB，
所以 EF丄PC，由于 PH丄平面EFG，因此由三垂线逆定理知 EF丄HG ，
（同理可证其它，因此 H 为垂心。不过用不着，可以不理会。本题只须 EF丄MG ）
所以 PM丄EF 。（下面就可以计算了）

Answer 2

同学你好，很高兴为您解答！

　　在线段 PD 上取点 H ，过 H 作平面 α ，使 PH丄α ，

　　设 α 与 PA、PB、PC 分别交于 E、F、G ，连接 EF、FG、GE，

　　延长 GH 交 EF 于 M ，连接 PM ，

　　易证 H 为三角形 EFG 的垂心，GM丄EF，

　　设 PH = x ，容易求得 PF = 2x，PE = √2x ，因此 EF=√6x ，

　　所以 PM = PE*PF/EF = 2√3/3*x ，

　　那么 sin∠PMH = PH/PM = √3/2 ，所以 ∠PMH = 60°，

　　而 ∠CPD = ∠GPH =∠PMH = 60°，

　　所以 cos∠CPD  = 1/2 。

　　希望我的回答能帮助您解决问题，如您满意，请采纳为最佳答案哟。

　　感谢您的提问，更多财会问题欢迎提交给高顿企业知道。

高顿祝您生活愉快！

Answer 3

显然，(cos∠APD)^2+cos(∠BPD)^2+cos(∠CPD)^2=1（1）。因此cos∠CPD=1/2。
式（1）的证明可以建立坐标系由解析几何的方法获得。