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令x－1＝√3tanu，则：tanu＝（x－1）/√3，dx＝［√3/（cosu）^2］du。
∴∫［1/（x^2－2x＋4）^（3/2）］dx
＝∫｛1/［（x－1）^2＋3］^（3/2）｝dx
＝∫｛1/［3（tanu）^2＋3］^（3/2）｝［√3/（cosu）^2］du
＝（1/3）∫｛1/［1/（cosu）^3］｝［1/（cosu）^2］du
＝（1/3）∫cosudu
＝（1/3）sinu＋C
＝（1/3）tanu/√［1＋（tanu）^2］＋C
＝［1/（3√3）］（x－1）/√［1＋（1/3）（x－1）^2］＋C
＝（1/3）（x－1）/√［3＋（x－1）^2］＋C
＝（1/3）（x－1）/√（x^2－2x＋4）＋C。
∴∫［1/（x^2－2x＋4）^（3/2）］dx
＝∫｛1/［（x－1）^2＋3］^（3/2）｝dx
＝∫｛1/［3（tanu）^2＋3］^（3/2）｝［√3/（cosu）^2］du
＝（1/3）∫｛1/［1/（cosu）^3］｝［1/（cosu）^2］du
＝（1/3）∫cosudu
＝（1/3）sinu＋C
＝（1/3）tanu/√［1＋（tanu）^2］＋C
＝［1/（3√3）］（x－1）/√［1＋（1/3）（x－1）^2］＋C
＝（1/3）（x－1）/√［3＋（x－1）^2］＋C
＝（1/3）（x－1）/√（x^2－2x＋4）＋C。
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L = ∫ x/√(x²-x+1) dx
= ∫ x/√[(x-1/2)²+3/4] dx
Let x-1/2 = (√3/2)tany,dx = (√3/2)sec²y dy
tany = (2x-1)/√3,secy=2√(x²-x+1)/√3
L = ∫ [(√3/2)tany + 1/2]secy dy
= (√3/2)∫ secytany dy + (1/2)∫ secy dy
= (√3/2)secy + (1/2)ln| secy+tany | + C
= (√3/2)(2/√3)√(x²-x+1) + (1/2)ln| 2√(x²-x+1)/√3 + (2x-1)/√3 | + C
= √(x²-x+1) + (1/2)ln| (2x-1)+2√(x²-x+1) | + C₁
= ∫ x/√[(x-1/2)²+3/4] dx
Let x-1/2 = (√3/2)tany,dx = (√3/2)sec²y dy
tany = (2x-1)/√3,secy=2√(x²-x+1)/√3
L = ∫ [(√3/2)tany + 1/2]secy dy
= (√3/2)∫ secytany dy + (1/2)∫ secy dy
= (√3/2)secy + (1/2)ln| secy+tany | + C
= (√3/2)(2/√3)√(x²-x+1) + (1/2)ln| 2√(x²-x+1)/√3 + (2x-1)/√3 | + C
= √(x²-x+1) + (1/2)ln| (2x-1)+2√(x²-x+1) | + C₁
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