Question

两条互相平行的直线分别过点A（6，2）和B（-3，-1），并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为

两条互相平行的直线分别过点A（6，2）和B（-3，-1），并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d．求：（1）d的变化范围；（2）当d取最大值时两条直线的方程．

Answer 1

（1）方法一：①当两条直线的斜率不存在时，即两直线分别为x=6和x=-3，则它们之间的距离为9．…（2分） ②当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为 l 1 ：y-2=k（x-6），l 2 ：y+1=k（x+3）， 即l 1 ：kx-y-6k+2=0，l 2 ：kx-y+3k-1=0，…（4分） ∴d= |3k-1+6k-2| k 2 +1 = 3|3k-1| k 2 +1 ． 即（81-d 2 ）k 2 -54k+9-d 2 =0． ∵k∈R，且d≠9，d＞0， ∴△=（-54） 2 -4（81-d 2 ）（9-d 2 ）≥0，即0＜d≤3 10 且d≠9．…（9分） 综合①②可知，所求d的变化范围为（0，3 10 ]． 方法二：如图所示 ，显然有0＜d≤|AB|． 而|AB|= [6-(-3)] 2 +[2-(-1)] 2 =3 10 ． 故所求的d的变化范围为（0，3 10 ]． （2）由图可知，当d取最大值时，两直线垂直于AB． 而k AB = 2-(-1) 6-(-3) = 1 3 ， ∴所求直线的斜率为-3．故所求的直线方程分别为 y-2=-3（x-6），y+1=-3（x+3），即3x+y-20=0和3x+y+10=0-…（13分）