Question

如图，AB是半圆O的直径，F是半圆上一点，D是OA上一点，过点D作ED⊥AB，交半圆于点C，交BF的延长线于点E，

如图，AB是半圆O的直径，F是半圆上一点，D是OA上一点，过点D作ED⊥AB，交半圆于点C，交BF的延长线于点E，连接AC，AF，BC．（1）求证：∠E=∠BCF；（2）求证：BC 2 =BF·BE；（3）若BC=12，CF=6，BF=9，那么sin∠AFC= _________ ．

Answer 1

（1）证明： ∵∠1=∠2，∠AFB=90 °， ∴∠2+∠ABF=90 °； ∵∠ABF+∠E=90 °， ∴∠E=∠1，即∠E=∠BCF； （2）证明：在△BCE与△BFC中， ∠E=∠BCF，∠CBF=∠CBF；故△BCE∽△BFC， ∴ = ，即BC 2 =BF·BE； （3）解：将半圆补全，延长ED，交⊙O于K． ∵BC 2 =BF·BE，BC=12，BF=9； ∴BE= ； ∴CE= × ×6= =8； ∴EF=EB﹣FB= ﹣9= =7； ∴EF·EB=EC·EK，即7× =8×（8+2CD）；解得CD=3． 在Rt△BCD中，BC=12； 因此sin∠DBC= = = ． 又因为∠AFC=∠DBC， 所以sin∠AFC=