Question

如图，α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，点A在直线l 上的射影为A 1 ，点B在l的射影为B 1 ，已知AB=2，AA

如图，α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，点A在直线l 上的射影为A 1 ，点B在l的射影为B 1 ，已知AB=2，AA 1 =1，BB 1 = 2 ，求：（Ⅰ） 直线AB分别与平面α，β所成角的大小；（Ⅱ）二面角A 1 -AB-B 1 的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）如图，连接A 1 B，AB 1 ，∵α⊥β，α∩β=l，AA 1 ⊥l，BB 1 ⊥l， ∴AA 1 ⊥β，BB 1 ⊥α． 则∠BAB 1 ，∠ABA 1 分别是AB与α和β所成的角． Rt△BB 1 A中，BB 1 = 2 ，AB=2，∴sin∠BAB 1 = BB1 AB = 2 2 ．∴∠BAB 1 =45°． Rt△AA 1 B中，AA 1 =1，AB=2，sin∠ABA 1 = AA1 AB = 1 2 ，∴∠ABA 1 =30°． 故AB与平面α，β所成的角分别是45°，30°．            （Ⅱ）∵BB 1 ⊥α，∴平面ABB 1 ⊥α．在平面α内过A 1 作A 1 E⊥AB 1 交AB 1 于E， 则A 1 E⊥平面AB 1 B．过E作EF⊥AB交AB于F，连接A 1 F，则由三垂线定理得A 1 F⊥AB，∴∠A 1 FE就是所求二面角的平面角． 在Rt△ABB 1 中，∠BAB 1 =45°，∴AB 1 =B 1 B= 2 ．∴Rt△AA 1 B中，A 1 B= AB2-AA12 = 4-1 = 3 ． 由AA 1 ?A 1 B=A 1 F?AB得 A 1 F= AA1?A1B AB = 1× 3 2 = 3 2 ， ∴在Rt△A1EF中，sin∠A 1 FE= A1E A1F = 6 3 ，∴二面角A 1 -AB-B 1 的余弦值是 3 3 ，