Question

（2014?本溪）如图，已知在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，延长CA到O，使AO=AC，以O为圆心，OA长为半

（2014?本溪）如图，已知在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，延长CA到O，使AO=AC，以O为圆心，OA长为半径作⊙O交BA延长线于点D，连接CD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB=4，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

（1）证明：连接OD，
∵∠BCA=90°，∠B=30°，
∴∠OAD=∠BAC=60°，
∵OD=OA，
∴△OAD是等边三角形，
∴AD=OA=AC，∠ODA=∠O=60°，
∴∠ADC=∠ACD=

1

2

∠OAD=30°，
∴∠ODC=60°+30°=90°，
即OD⊥DC，
∵OD为半径，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵AB=4，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴OD=OA=AC=

1

2

AB=2，
由勾股定理得：CD=

OC2?OD2

=

42?22

=2

3

，
∴S_阴影=S_△ODC-S_扇形AOD=

1

2

×2×2

3

-

60π×22

360

=2

3

-

2

3

π．