Question

如图，已知抛物线与x轴交于点A（-2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，8），（1）试求抛物线的解析式；

如图，已知抛物线与x轴交于点A（-2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，8），（1）试求抛物线的解析式；（2）设点D是该抛物线的顶点，试求直线CD的解析式；（3）若直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴上、下平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？

Answer 1

（1）抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-4）， ∵抛物线与y轴交于点C（0，8）， ∴-8a=8，解得a=-1， ∴y=-x 2 +2x+8； （2）∵y=-x 2 +2x+8， ∴顶点坐标为（1，9）， 设过CD的解析式为y=kx+b， ∴b=8，k+8=9， 解得k=1， ∴过CD的解析式为y=x+8； 若直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴上、下平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？ （3）由上求得E（-8，0），F（4，12）． ①若抛物线向上平移，可设解析式为y=-x 2 +2x+8+m（m＞0）． 当x=-8时，y=-72+m． 当x=4时，y=m． ∴-72+m≤0或m≤12． ∴0＜m≤72． ②若抛物线向下移，可设解析式为y=-x 2 +2x+8-m（m＞0）． 由 y=- x 2 +2x+8-m y=x+8 ， 有x 2 -x+m=0． ∴△=1-4m≥0， ∴0＜m≤ 1 4 ． ∴向上最多可平移72个单位长，向下最多可平移 1 4 个单位长．