Question

以AB为直径作半圆O，AB=10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，并延长BC至点D，使DC=BC，过点D作DE⊥AB于

以AB为直径作半圆O，AB=10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，并延长BC至点D，使DC=BC，过点D作DE⊥AB于点E、交AC于点F，连接OF．（1）如图①，当点E与点O重合时，求∠BAC的度数；（2）如图②，当DE=8时，求线段EF的长；（3）在点C运动过程中，若点E始终在线段AB上，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请直接写出此时线段OE的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）连接OC．
∵C为DB中点，
∴OC=BC=OB，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=30°；

（2）连接DA．
∵AC垂直平分BD，
∴AB=AD=10，
∵DE=8，DE⊥AB，
∴AE=6，
∴BE=4，
∵∠FAE+∠AFE=90°，∠CFD+∠CDF=90°，
∴∠CDF=∠EAF，
∵∠AEF=∠DEB=90°，
∴△AEF∽△DEB，
∴

EF

EB

=

AE

DE

，
∴EF=3；

（3）①当交点E在O、A之间时，
若∠EOF=∠BAC，此时

OE

AC

＝

EF

BC

，
∵

AE

AC

＝

EF

BC

，
∴

OE

AC

＝

AE

AC

，
∴OE=AE，
则OE=

5

2

；
若∠EOF=∠ABC，此时

OE

BC

＝

EF

AC

，
∴

AE

EF

＝

EF

OE

，
则OE=

5

3

；
②当交点E在O、B之间时，OE=

?15+5 17

4

．
综上所述，OE=

5

2

或

5

3

或

?15+5 17

4

．