Question

如果一个函数f（x）在其定义区间内对任意实数x，y都满足f(x+y2)≤f(x)+f(y)2，则称这个函数是下凸函数，

如果一个函数f（x）在其定义区间内对任意实数x，y都满足f(x+y2)≤f(x)+f(y)2，则称这个函数是下凸函数，下列函数（1）f（x）=2x；（2）f（x）=x3；（3）f（x）=log2x（x＞0）；（4）f(x)＝x，x＜02x，x≥0中是下凸函数的有（　　）A．（1），（2）B．（2），（3）C．（3），（4）D．（1），（4）

Answer 1

∵函数f（x）在其定义区间内对任意实数x，y都满足f(

x+y

2

)≤

f(x)+f(y)

2

，
∴f″（x）≥0
（1）f（x）=2^x，则f′（x）=2^x?ln2，∴f″（x）=2^x?ln²2＞0，∴函数是下凸函数；
（2）f（x）=x³，则f′（x）=3x²，∴f″（x）=6x，∴函数不是下凸函数；
（3）f（x）=log₂x，则f′（x）=

1

xln2

，∴f″（x）=-

1

x2ln2

＜0，∴函数不是下凸函数；
（4）x＜0时，f′（x）=1，∴f″（x）=0；x≥0时，f′（x）=2，∴f″（x）=0，∴函数是下凸函数
故选D．