Question

数学课堂上，徐老师出示一道试题：如图1所示，在正三角形ABC中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是

数学课堂上，徐老师出示一道试题：如图1所示，在正三角形ABC中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点．若∠AMN=60°，求证：AM=MN．（1）经过思考，小明展示了一种正确的证明过程．请你将证明过程补充完整．证明：在AB上截取EA=MC，连接EM，得△AEM．∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN，∠2=180°-∠AMB-∠B，∠AMN=∠B=60°，∴∠1=∠2．又CN平分∠ACP，∠4=12∠ACP=60°．∴∠MCN=∠3+∠4=120°…①又∵BA=BC，EA=MC，∴BA-EA=BC-MC，即BE=BM．∴△BEM为等边三角形．∴∠6=60°．∴∠5=180°-∠6=120°．…②∴由①②得∠MCN=∠5．在△AEM和△MCN中，∵______．∴△AEM≌△MCN （ASA）．∴AM=MN．（2）若将试题中的“正三角形ABC”改为“正方形A1B1C1D1”（如图2），N1是∠D1C1P1的平分线上一点，则当∠A1M1N1=90°时，结论A1M1=M1N1．是否还成立？（直接写出答案，不需要证明）（3）若将题中的“正三角形ABC”改为“正多边形AnBnCnDn…Xn”，请你猜想：当∠AnMnNn=______°时，结论AnMn=MnNn仍然成立？（直接写出答案，不需要证明）

Answer 1

（1）证明：由下一步△AEM≌△MCN （ASA）所需条件证得：
∠1=∠2．AE=MC，∠MCN=∠5；

（2）解：成立．在A₁B₁上截取A₁H=M₁C₁；

（3）由∠AMN=60°=

(3?2)

3

×180，∠A₁M₁N₁=90°=

(4?2)

4

×180°，
猜想：∠A_nM_nN_n=

(n?2)

n

×180°．