Question

已知各项均为正数的数列{an}满足a2n+1＝2a2n+anan+1，且a2+a4=2a3+4，其中n∈N*．（Ⅰ）求数列{an}的通项

已知各项均为正数的数列{an}满足a2n+1＝2a2n+anan+1，且a2+a4=2a3+4，其中n∈N*．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{bn}满足bn＝nan(2n+1)?2n是否存在正整数m、n（1＜m＜n），使得b1，bm，bn成等比数列？若存在，求出所有的m、n的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

因为an+12=2an2+anan+1，即（an+1+an）（2an-an+1）=0，
又an＞0，所以有2an-an+1=0，所以2an=an+1，所以数列{an}是公比为2的等比数列．
由a2+a4=2a3+4得2a1+8a1=8a1+4，解得a1=2，故an=2n（n∈N*）

1、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法； 
2、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
3、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
4、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
  

Answer 2

（Ⅰ）因为

a

2 n+1

＝2

a

2 n

+anan+1，
所以（a_n+1+a_n）（2a_n-a_n+1）=0，
因为a_n＞0，?
所以有2a_n-a_n+1=0，即2a_n=a_n+1，
所以数列{a_n}是公比为2的等比数列，?
由a₂+a₄=2a₃+4得2a₁+8a₁=8a₁+4，解得a₁=2．
从而数列{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ．…（6分）
（II）bn＝

nan

(2n+1)?2n

=

n

2n+1

，
若b₁，b_m，b_n成等比数列，则(

m

2m+1

)2＝

1

3

?

n

2n+1

，
即

3

n

＝

?2m2+4m+1

m2

，
所以-2m²+4m+1＞0，解得：1-

6

2

＜m＜1+

6

2

．
又m∈N^*，且m＞1，所以m=2，此时n=12．
故当且仅当m=2，n=12，使得b₁，b_m，b_n成等比数列．…（13分）