（2014?宿迁模拟）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），A，F分别为椭圆C的左顶点和右焦点，过F的直线l交
（2014?宿迁模拟）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），A，F分别为椭圆C的左顶点和右焦点，过F的直线l交椭圆C于点P，Q．若AF=3，且当直线l⊥x轴时...
（2014?宿迁模拟）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），A，F分别为椭圆C的左顶点和右焦点，过F的直线l交椭圆C于点P，Q．若AF=3，且当直线l⊥x轴时，PQ=3．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，问k1k2是否为定值？并证明你的结论；（3）记△APQ的面积为S，求S的最大值．
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（1）设椭圆的右焦点为F（c，0），c＞0，则a2=b2+c2，…①
由AF=3，得a+c=3，…②
又当直线l⊥x轴时，P，Q的横坐标为c，将x=c代入
+
＝1中，得y＝±
，
则PQ＝
＝3，…③
联立①②③，解得a2=4，b2=3，c2=1，
所以椭圆C的方程为
+
＝1．
（2）k1k2为定值?
．证明如下：
显然，直线PQ不与y轴垂直，可设PQ的方程为x=my+1，
联立椭圆方程
+
＝1，消去x并整理得（3m2+4）y2+6my-9=0，
又设P（x1，y1），Q（x2，y2），由韦达定理得
从而x1+x2=（my1+1）+（my2+1）=
，x1x2=（my1+1）（my2+1）=
，
所以k1k2＝
＝
=
=
＝?
，
即k1k2＝?
，故得证．
（3）由（2）知，
所以S＝
AF?|y1?y2|＝
|y1?y2|=
=
=18
=18
由AF=3，得a+c=3，…②
又当直线l⊥x轴时，P，Q的横坐标为c，将x=c代入
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| b2 |
| a |
则PQ＝
| 2b2 |
| a |
联立①②③，解得a2=4，b2=3，c2=1，
所以椭圆C的方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）k1k2为定值?
| 1 |
| 4 |
显然，直线PQ不与y轴垂直，可设PQ的方程为x=my+1，
联立椭圆方程
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
又设P（x1，y1），Q（x2，y2），由韦达定理得
|
从而x1+x2=（my1+1）+（my2+1）=
| 8 |
| 3m2+4 |
| ?12m2+4 |
| 3m2+4 |
所以k1k2＝
| y1y2 |
| (x1+2)(x2+2) |
| y1y2 |
| x1x2+2(x1+x2)+4 |
| ||||
|
| ?9 |
| 36 |
| 1 |
| 4 |
即k1k2＝?
| 1 |
| 4 |
（3）由（2）知，
|
所以S＝
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| (y1+y2)2?4y1y2 |
=
| 3 |
| 2 |
(?
|
|
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