Question

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边， acosC+ 3 asinC-b-c=0 （1）求A；（2）若a=

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边， acosC+ 3 asinC-b-c=0 （1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为 3 ，证明△ABC是正三角形．

Answer 1

（1）∵ acosC+ 3 asinC-b-c=0 ∴由正弦定理可得 sinAcosC+ 3 sinAsinC=sinB+sinC ∴ sinAcosC+ 3 sinAsinC=sin(A+C)+sinC ∴ 3 sinA-cosA=1 ∴sin（A-30°）= 1 2 ∴A-30°=30°，∴A=60°； （2）证明：∵△ABC的面积为 3 ， ∴ 1 2 bcsinA= 3 ∴bc=4 ∵a=2 ∴由余弦定理可得：4=b 2 +c 2 -2bccosA=（b+c） 2 -12 ∴b+c=4 ∵bc=4 ∴b=c=2 ∴a=b=c ∴△ABC是正三角形．