Question

已知椭圆C： x 2 4 + y 2 3 =1 的左焦点为F，过F点的直线l交椭圆于A，B两

已知椭圆C： x 2 4 + y 2 3 =1 的左焦点为F，过F点的直线l交椭圆于A，B两点，P为线段AB的中点，当△PFO的面积最大时，求直线l的方程．

Answer 1

由椭圆C： x 2 4 + y 2 3 =1 可得a 2 =4，b 2 =3，∴ c= a 2 - b 2 =1． ∴左焦点F（-1，0）． 由题意只考虑直线l的斜率存在且不为0即可， 设直线l的方程为my=x+1，A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）， 联立 my=x+1 x 2 4 + y 2 3 =1 化为（4+3m 2 ）y 2 -6my-9=0， ∴ y 1 + y 2 = 6m 4+3 m 2 ， ∴ y P = y 1 + y 2 2 = 3m 4+3 m 2 ， ∴S △PFO = 1 2 |OF|?| y P | = |3m| 2(4+3 m 2 ) = 3 2( 4 |m| +3|m|) ≤ 3 2×2 12 = 3 8 ，当且仅当|m|= 2 3 3 时取等号． 此时△PFO的最大值为 3 8 ，直线l的方程为 ± 2 3 3 y=x+1 ．