Question

已知：直线y=-2x+2分别与x轴、y轴相交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC=90

已知：直线y=-2x+2分别与x轴、y轴相交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC=90°，过C作CD⊥x轴于D．求：（1）点A、B的坐标；（2）AD的长；（3）过A、B、C三点的抛物线的解析式；（4）在x轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）直线y=-2x+2分别与x轴、y轴相交于点A、B，
令y=0得-2x+2=0，解得：x=1；
令x=0，解得y=2，
∴A（1，0），B（0，2）；…（2分）

（2）∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠BAO+∠CAD=90°，
又∠AOB=90°，
∴∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠CAD，
在△ABO和△CAD中，

∠AOB＝∠CDA＝90° ∠ABO＝∠CAD AB＝AC

，
∵△ABO≌△CAD（AAS），
∴OB=AD=2；…（4分）

（3）∵△ABO≌△CAD，
∴OA=CD=1，AD=OB=2，
∴OD=3，
∴C（3，1），…（5分）
设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
把三点坐标代入得：

a+b+c＝0 c＝2 9a+3b+c＝1

，
解得

a＝ 5 6 b＝? 17 6 c＝2

，
∴y＝

5

6

x2?

17

6

x+2；…（7分）

（4）存在3个点使△BCP为等腰三角形，
①当B为顶点，BC=BP时，如图所示：

在直角三角形AOB中，OA=1，OB=2，
根据勾股定理得：AB=

OA2+OB2

=

5

，
∴AC=AB=

5

，又△ABC为等腰直角三角形，
∴BP=BC=

10

，
在直角三角形OBP₁中，OP₁=

BP12?OB2

=

6

，
同理OP₂=

6

，
则P₁（-

6

，0），P₂（

6

，0）；
②当C为顶点，CB=CP时，P₃（6，0），
此时B、C、P 在同一直线上，P₃舍去；
③当P为顶点，PA=PB时，P₄为线段BC垂直平分线与x轴的交点，
又∵AB=AC，此时P₄与A重合，
则P₄（1，0），
综上，满足题意的坐标为P₁（-

6

，0），P₂（

6

，0），P₃（1，0）．…（9分）