Question

曲线C是平面内与两个定点F 1 （-1，0）和F 2 （1，0）的距离的积等于常数a 2 （a＞1）的点的轨迹．给出下

曲线C是平面内与两个定点F 1 （-1，0）和F 2 （1，0）的距离的积等于常数a 2 （a＞1）的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△F 1 PF 2 的面积不大于 1 2 a 2 ．其中，所有正确结论的序号是______．

Answer 1

对于①，由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及两点间的距离公式的得： (x+1) 2 + y 2 ? (x-1) 2 + y 2 = a 2 ?[（x+1） 2 +y 2 ]?[（x-1） 2 +y 2 ]=a 4 （1）将原点代入验证，此方程不过原点，所以①错； 对于②，把方程中的x被-x代换，y被-y 代换，方程不变，故此曲线关于原点对称．②正确； 对于③，由题意知点P在曲线C上，则△F 1 PF 2 的面积 S △P F 1 F 2 = 1 2 ×2×y ， 由（1）式平方化简的：y 4 +[（x+1） 2 +（x-1） 2 ]y 2 +（x 2 -1） 2 -a 4 =0? y 2 =- x 2 -1+ 4 x 2 + a 4 或 y 2 =- x 2 -1- 4 x 2 + a 4 （舍）   把三角形的面积式子平方得： S △P F 1 F 2 2  = y 2  对于 y 2 =- x 2 -1+ 4 x 2 + a 4 （2）  令 4 x 2 + a 4 =t(t≥ a 2 ＞1) ? x 2 = t 2 - a 4 4 代入（2）得 y 2 =- t 2 4 + a 4 4 -1+t = - 1 4 (t-2) 2 + a 4 4 ≤ a 4 4 ， 故可知 S △P F 1 F 2 = 1 2 ×2×y≤ 1 2 a 2 所以③正确． 故答案为：②③