Question

求出矩阵A 的特征值和特征向量

求出矩阵A 的特征值和特征向量．

Answer 1

矩阵A的特征值 ＝－2， ；属于特征值-2的特征向量为 ，属于特征值1的特征向量为 。

特征矩阵为 ，特征多项式 ，　　　　　　　　　 令 0，解得矩阵A的特征值 ＝－2， ，　　　　　　　　 将 －2代入特征矩阵得 ， 以它为系数矩阵的二元一次方程组是 解之得 ， 可以为任何非零实数，不妨记 （ ， ），于是，矩阵A的属于特征值-2的特征向量为 ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 再将 1代入特征矩阵得 ， 以它为系数矩阵的二元一次方程组是 解之得 ， 可以为任何非零实数，记 （ ， ），于是矩阵A的属于特征值1的特征向量为 ．

Answer 2

矩阵A的特征值定义如下：
对某个数λ，如果存在非零向量x使Ax=λx，则λ是A的特征值。
把上式变换一下即变成：
对某个数λ，如果存在非零向量x使(A-λI)x=0，则λ是A的特征值。
而存在非零向量x使(A-λI)x=0等价于方程(A-λI)x=0有非零解，即|A-λI|=0。因此求矩阵A的特征值即解方程|A-λI|=0。

要求特征值λ对应的特征向量，即求x使得Ax=λx，即(A-λI)x=0，因此相当于解方程组
(A-λI)x=0。