Question

离散数学-近世代数部分的5个问题，高手进！

1.设G = {1, 5, 7, 11}, (G, *)为群, 其中*为模12乘法，(1) 求5的阶（周期）;
(2)（G, *）的所有真子群。
2.设H = {0, 4, 8}，（H, +12）是群(N12, +12)的子群, 其中N12= {0,1,2,…,11},+12是模12加法，
求H的左陪集3H 。
3.设A = {a, b, c}, (A, *)是群, a是单位元, 求c的阶和b2。
4.在整数集Z上定义：a*b = a + b – 2, 任意a, bZ。 证明：（Z, *）是一个群。
5.设h是群G上的一个同态，|G| = 12, |h(G)|=3，K是核。求|K| 和 |G/K|。

Answer 1

1.
（1）5²=25=1，所以|5|=2
（2）设K<G是子群，只要讨论一下是否有5,7,11即可：
（2.1）注意5²=1,7²=49=1,11²=121=1，都是二阶元素
（2.2）另外有5,7,11中的两项，就可以生成第三项，所以
子群就是{1}{1,5}{1,7}，{1,11}还有G。其中4个真子群。

2.
你肯定是3H不是3+H？这个是加法群，照理陪集应该写成3+H，除非用了N诱导的模12乘法……
3+H={3+h|h∈H}={3,4,11}, 3H={3h|h∈H}={0,12=0,24=0}={0}

3.
bc只能=a or b or c
如果bc=b or c，两边乘对应的逆元得到c=1=a或b=1=a，矛盾
所以bc=a，所以c和b互逆，所以c和b的阶一样

c²可能是a,b,c
若c²=a则c²=a=bc推出b=c矛盾
若c²=c则cc=c推出c=a矛盾
所以c²=b=c^-1,所以c³=a, 所以|c|=3

同理b²=c

4. 封闭：任意a,b∈Z, a*b=a+b-2∈Z
幺元：是2
任意a的逆元：是2-a
所以（Z，*）是群

5. 直接由counting formula（抽象代数里有，不知道你们有没有学）知
|G|=|K||G/K|
而对于群同态f:G1->G2,有|G1|=|kerf||Imf|
所以对于h:G->G,有|G|=|K||h(G)|

所以|K|是4，|G/K|=|Im h|=|h(G)|=3

Answer 2

我哒妈呀、

的确够晕的、

什么么？

研究生做的题啊？

Answer 3

晕就一个字