Question

已知二次函数y=x2-kx+k-1（ k＞2）．（1）求证：抛物线y=x2-kx+k-1（ k＞2）与x轴必有两个交点；（2）抛

已知二次函数y=x2-kx+k-1（ k＞2）．（1）求证：抛物线y=x2-kx+k-1（ k＞2）与x轴必有两个交点；（2）抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若tan∠OAC=3，求抛物线的表达式；（3）以（2）中的抛物线上一点P（m，n）为圆心，1为半径作圆，直接写出：当m取何值时，x轴与⊙P相离、相切、相交．

Answer 1

（1）根据题意有：△=k²-4k+4=（k-2 ）²，
∵k＞2，
∴△＞0，
所以抛物线与x轴必有两个交点．

2）设f（x）=x²-kx+k-1
根据题意知
对称轴x=

k

2

＞1，且f（1）=0，f（0）=k-1＞1
∴可设A（1，0），C（0，a）
在RT△COA中，tan∠OAC=3=

OC

OA

=

a

1

，
∴a=3
∴点C（0，3）
把点C代入抛物线求得k=4，
故抛物线的表达式为y=x²-4x+3．

（3）当m²-4m+3=-1，即m=2或m²-4m+3=1，即m=2±

2

时，x轴与⊙P相切；
当m＜2-

2

或m＞2+

2

时，x轴与⊙P相离；
当2-

2

＜m＜2+

2

且时m≠2，x轴与⊙P相交．